Мета та завдання навчальної дисципліни
«Лінійні інтегральні рівняння»
Предметом лінійних інтегральних рівнянь є вивчення основних точних та наближених методів розв’язування лінійних інтегральних рівнянь.
Міждисциплінарні зв’язки: прикладна математика, фізика, механіка, електроніка.
Програма навчальної дисципліни складається з таких змістових модулів:
1. Лінійні інтегральні рівняння ІІ роду. Теорія Фредгольма.
2. Наближені та операційні методи розв’язування лінійних інтегральних рівнянь. Рівняння І роду.
Мета дисципліни – ознайомити студентів з лінійними інтегральними рівняннями, задачами, які приводять до них, та методами точного і наближеного розв’язування таких рівнянь.
Для досягнення мети та згідно з вимогами освітньо-професійної програми студенти повинні
знати:
• класи лінійних інтегральних рівнянь та мати поняття про нелінійні інтегральні рівняння;
• методи точного розв’язування лінійних інтегральних рівнянь: ітерованих ядер, за формулами Фредгольма, зведення до системи рівнянь, послідовних наближень, операційний;
• методи наближеного розв’язування лінійних інтегральних рівнянь та оцінки похибок наближених розв’язків.
уміти:
• розв’язувати лінійні інтегральні рівняння Фредгольма ІІ роду методами ітерованих ядер, за формулами Фредгольма, зведенням до системи рівнянь, послідовних наближень;
• розв’язувати лінійні інтегральні рівняння Вольтерра ІІ роду методами ітерованих ядер, послідовних наближень;
• знаходити наближені розв’язки таких рівнянь та оцінювати похибки отриманих наближень;
• знаходити характеристичні числа та власні функції для симетричних інтегральних операторів;
• розв’язувати рівняння типу згортки операційним методом.
Зміст навчальної дисципліни за модулями та темами
Модуль І. Лінійні інтегральні рівняння ІІ роду. Теорія Фредгольма
Тема 1.1. Основні поняття, пов’язані з інтегральними рівняннями.
Означення та класифікація інтегральних рівнянь. Задачі, які приводять до інтегральних рівнянь. Елементи функціонального аналізу у теорії інтегральних рівнянь: метричні, нормовані та евклідові простори; лінійні оператори та обернені до них; компактні оператори.
Тема 1.2. Метод ітерованих ядер.
Степені інтегральних операторів Фредгольма та Вольтерра. Метод ітерованих ядер для інтегральних рівнянь Фредгольма ІІ роду. Метод ітерованих ядер для інтегральних рівнянь Вольтерра ІІ роду. Наближене розв’язування лінійних інтегральних рівнянь ІІ роду методом ітерованих ядер. Інтегральні рівняння, ядра яких мають слабку особливість.
Тема 1.3. Формули та теореми Фредгольма.
Формули Фредгольма. Резольвента Фредгольма. Інтегральні рівняння Фредгольма ІІ роду з виродженим ядром. Перша теорема Фредгольма. Друга та третя теореми Фредгольма для інтегральних рівнянь Фредгольма ІІ роду з виродженим ядром. Теореми Фредгольма для довільних лінійних інтегральних рівнянь Фредгольма ІІ роду. Метод вироджених ядер.
Тема 1.4. Симетричні інтегральні рівняння
Компактні самоспряжені оператори. Теорема Гільберта-Шмідта. Інтегральні рівняння Фредгольма ІІ роду з симетричними ядрами. Зведення задачі про власні функції симетричного ядра до крайової задачі. Розвинення симетричного ядра та його ітерованих ядер за власними функціями ядра. Інтегральні рівняння, які зводяться до інтегральних рівнянь з симетричним ядром. Крайові задачі, які зводяться до інтегральних рівнянь з симетричним ядром.
Модуль ІІ. Наближені та операційні методи розв’язування лінійних інтегральних рівнянь. Рівняння І роду.
Тема 2.1. Ітераційні методи.
Принцип стискаючих відображень. Метод послідовних наближень для лінійних інтегральних рівнянь Фредгольма ІІ роду. Метод послідовних наближень для лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра ІІ роду. Поняття про метод послідовних наближень для нелінійних інтегральних рівнянь. Наближене розв’язування лінійних інтегральних рівнянь ІІ роду методом простої ітерації. Поняття про методи Положія та усереднення функціональних поправок.
Тема 2.2. Апроксимаційні та проекційні методи.
Метод квадратур для лінійних інтегральних рівнянь Фредгольма ІІ роду. Метод квадратур для лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра ІІ роду. Основні ідеї проекційних методів розв’язування інтегральних рівнянь. Метод найменших квадратів. Методи Гальоркіна-Петрова та Бубнова-Гальоркіна. Метод колокації.
Тема 2.3. Лінійні інтегральні рівняння І роду та рівняння типу згортки.
Лінійні інтегральні рівняння Фредгольма І роду. Теорема Пікара. Лінійні інтегральні рівняння Вольтерра І роду та методи їх зведення до рівнянь Вольтерра ІІ роду. Перетворення Лапласа та його властивості. Формули зображень. Методи відновлення функції за її зображенням. Застосування перетворення Лапласа до розв’язування інтегральних рівнянь Вольтерра типу згортки. Лінійні інтегро-диференціальні рівняння типу згортки.