Мета та завдання навчальної дисципліни «Комплексний аналіз»
Головна мета курсу «Комплексний аналіз» – вивчення елементарних трансцендентних функцій. Вивести необхідні і достатні умови диференційованості функцій у комплексній області. Показати збіжність і розбіжність інтегрування функцій у комплексній області. Навчити основним методам розкладу елементарних функцій н ряди Тейлора і Лорана. Навчити класифікувати ізольовані сингулярні точки і застосовувати теорію лишків для обчислення визначених і невласних інтегралів, і розв’язання деяких прикладних задач.
Отже, студент повинен знати:
1) Властивості модуля і аргументу комплексного числа та їх геометричну інтерпретацію. Геометричний зміст дій над комплексними числами. Основні теореми про границі послідовностей комплексних чисел. Чітко уявляти відмінності неперервності і диференційованості функцій комплексної та дійсної змінної, а також геометричний зміст похідної.
2) Навчитися обчислювати значення елементарних трансцендентних функцій від комплексної змінної. Уміти встановити зв’язок між круговими та гіперболічними функціям, а також уміти обчислювати значення обернених кругових та гіперболічних функцій.
3) Навчитися обчислювати інтеграли від функції комплексної змінної. Розкласти функції у степеневі ряди за додатними та від’ємними степенями. Знаходити нулі функцій і ізольовані сингулярні точки.
4) Користуватися відповідними теоремами про обчислення лишків функцій при обчисленні визначених і невласних інтегралів, а також при розв’язуванні задач практичного характеру.
Програма навчальної дисципліни
Вступ. Курс «Комплексний аналіз» дає можливість поширити знання з комплексних чисел, побудувати аналітичну функцію і встановити, що елементарні трансцендентні функції мають уявний період. Теорія лишків дає можливість розв’язувати багато задач гідродинаміки, картографії і обчислювати визначені ш невласні інтеграли.
Змістовий модуль 1. Комплексні числа. Комплексна змінна.
Тема 1.1. Алгебраїчні дії над комплексними числами та їх властивості. Тригонометрична форма комплексного числа.
1) Означення комплексного числа. Алгебраїчні дії над комплексними числами та їх властивості.
2) Тригонометрична форма комплексного числа. Модуль та аргумент добутку і частки. Формула Мавра. Показникові форма комплексного числа.
Тема 1.2. Геометричний зміст дій над комплексними числами.
1) Добування кореня з комплексного числа, яке задане у тригонометричній або показниковій формі.
2) Геометричний зміст дій над комплексними змінними. Стереографічна проекція і нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Сфера Рімана. Формули стереографічної проекції.
Тема 1.3. Комплексна змінна.
1)Означення комплексної змінної. Границя послідовності. Основні теореми про границі послідовностей. Обмежена послідовність.
2)Означення області. Однозв’язні і багатозв’язні. Гладкі і Кусково-гладкі лінії. Напрямок обходу лінії.
Змістовий модуль 2. Функції комплексної змінної та їх диференціювання. Елементарні трансцендентні функції.
Тема 2.1. Границі функції. Неперервність функції.
1)Означення функції. Дійсна та уявна частини функції. Границя функції. Основні теореми про границі функції.
2)Неперервність функції основні теореми про неперервність функції. 3) Похідна функції. Основні правила диференціювання. Принцип зображення області. Диференціал.
Тема 2.2. Умови диференціювання функцію комплексної змінної.
1)Диференційованість за комплексною змінною Умови Коші-Римана (Даламбера-Ейлера). Регулярні, аналітичні функції.
2)Знаходження функції за її дійсною (уявною) частиною. Геометричне тлумачення аргументу і модуля похідної. Поняття про конформне відображення .
Тема 2.3. Показникові, кругові та гіперболічні функції.
1) Показникові функція та її властивості. Формула Ейлера. Кругові та гіперболічні функції. Тотожні співвідношення між тригонометричними і гіперболічними функціями.
2) Властивості функцій синус і косинус у комплексній області. Приклади застосування формули Ейлера.
Тема 2.4. Логарифмічна та обернені кругові та гіперболічні функції.
1) Логарифмічна функція. Основні функціональні властивості логарифма.
2) Довільні степені і корені. Обернені кругові та обернені гіперболічні функції.
Змістовий модуль 3. Інтеграл. Ряди.
Тема 3.1. Інтеграл від функцій комплексної змінної.
1) Означення інтеграла від функції комплексної змінної за кривою. Умови існування інтеграла. Основні властивості інтеграла. Методи обчислення інтеграла.
2) Теорема Коші для однозв’язної області . Теорема Коші для багатозв’язної області. Незалежність контурного інтеграла регулярної функції від шляху інтегрування.
3) Первісна і невизначений інтеграл. Обчислення невизначеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца.
Тема 3.2. Формула Коші та її наслідки.
1)Формула Коші. Інтеграл Типу Коші.
2) Теорема про існування похідної любого порядку у регулярної функції. Принцип максимуму модуля. Теорема Ліувіля.
Тема 3.3. Загальні властивості рядів з комплексними числами. Функціональні ряди.
1) Означення ряду. Основні властивості числових рядів. Абсолютно і неабсолютно збіжні ряди.
2) Функціональний ряд і його збіжність. Рівномірно збіжні ряди та їх властивості. Теорема Вейєрштраса.
Тема 3.4. Степеневі ряди.
1) Теорема Абеля. Коло збіжності. Почленне диференціювання та інтегрування степеневого ряду.
2) Формула Коші-Адамара. Аналітичність суми степеневих рядів.
3) Розклад регулярної функції у степеневий ряд. Єдиність розкладу. Ряд Тейлора. Дії з степеневими рядами.
Тема 3.5. Ряд Лорана.
1) Двосторонні степеневі ряди. Ряд Лорана, область його збіжності.
2) Розклад аналітичної функції у ряд Лорана. Единість розкраду. Формули для коефіцієнтів ряду Лорана, нерівність Коші.
3) Теорема про сингулярну точку, яку можна усунути. Теорема Ліувіля.
Змістовий модуль 4. Нулі і сингулярні точки. Лишки, принцип аргументу.
Тема 4.1. Нулі аналітичної функції. Сингулярні точки.
1) Нулі аналітичної функції, Порядок нуля.
2) Класифікація ізольованих сингулярних точок однозначного характеру.
3) Полюс суттєво сингулярна точка, різні їх визначення.
Тема 4.2. Лишки аналітичної функції
1) Означення лишка. Теорема про лишки.
2) Формули обчислення лишків, Основна терема Коші про лишки.
Тема 4.3. Обчислення визначених інтегралів.
1) Обчислення визначених інтегралів від раціональних тригонометричних функцій.
2) Невласний інтеграл та його збіжність. Лема Жордана.
Тема 4.4. Обчислення невласних інтегралів.
1)
Обчислення інтегралу виду 
2)
Обчислення інтегралів виду 
, 
.
Тема 4.5. Лишки логарифмічної похідної.
1) Лишки логарифмічної похідної в її полюсах.
2) Число нулів і полюсів регулярної функції у замкненій області.
Тема 4.6. Теорема Руше. Основна терема алгебри.
1) Принцип аргументу.
2)Теорема Руше. Основна теорема алгебри.
Тема 4.7. Аналітичне продовження.
1) Аналітичний елемент то його продовження. Повна аналітична функція у тлумаченні Вейєрштраса. Поняття про ріманову поверхню.
2) Аналітичне продовження через границю області.