Архів

Метою вивчення дисципліни «Аналітична геометрія» є оволодіння студентами векторним та координатним методами на площині та в просторі.

Основними завданнями вивчення дисципліни є:

Метою викладання навчальної дисципліни «Основи педагогічних вимірювань та моніторингу якості освіти» є ознайомлення студентів з основними теоретичними положеннями питань створення та використання педагогічних тестів

Мета та завдання навчальної дисципліни

«Лінійні інтегральні рівняння»

Предметом лінійних інтегральних рівнянь є вивчення основних точних  та  наближених  методів  розв’язування  лінійних  інтегральних рівнянь.

Міждисциплінарні зв’язки: прикладна математика, фізика, механіка, електроніка.

Програма навчальної дисципліни складається з таких змістових модулів:

1. Лінійні інтегральні рівняння ІІ роду. Теорія Фредгольма.

2. Наближені та операційні методи розв’язування лінійних інтегральних рівнянь. Рівняння І роду.

Мета дисципліни – ознайомити студентів з лінійними інтегральними рівняннями, задачами, які приводять до них, та методами точного і наближеного розв’язування таких рівнянь.

Для досягнення мети та згідно з вимогами освітньо-професійної програми студенти повинні

знати:

• класи лінійних інтегральних рівнянь та мати поняття про нелінійні інтегральні рівняння;

• методи точного розв’язування лінійних інтегральних рівнянь: ітерованих ядер, за формулами Фредгольма, зведення до системи рівнянь, послідовних наближень, операційний;

• методи наближеного розв’язування лінійних інтегральних рівнянь та оцінки похибок наближених розв’язків.

уміти:

• розв’язувати лінійні інтегральні рівняння Фредгольма ІІ роду методами ітерованих ядер, за формулами Фредгольма, зведенням до системи рівнянь, послідовних наближень;

• розв’язувати лінійні інтегральні рівняння Вольтерра ІІ роду методами ітерованих ядер, послідовних наближень;

• знаходити наближені розв’язки таких рівнянь та оцінювати похибки отриманих наближень;

• знаходити характеристичні числа та власні функції для симетричних інтегральних операторів;

• розв’язувати рівняння типу згортки операційним методом.

Зміст навчальної дисципліни за модулями та темами

Модуль І. Лінійні інтегральні рівняння ІІ роду. Теорія Фредгольма

Тема 1.1. Основні поняття, пов’язані з інтегральними рівняннями.

Означення та класифікація інтегральних рівнянь. Задачі, які приводять до інтегральних рівнянь. Елементи функціонального аналізу у теорії інтегральних рівнянь: метричні, нормовані та евклідові простори; лінійні оператори та обернені до них; компактні оператори.

Тема 1.2. Метод ітерованих ядер.

Степені інтегральних операторів Фредгольма та Вольтерра. Метод ітерованих ядер для інтегральних рівнянь Фредгольма ІІ роду. Метод ітерованих ядер для інтегральних рівнянь Вольтерра ІІ роду. Наближене розв’язування лінійних інтегральних рівнянь ІІ роду методом ітерованих ядер. Інтегральні рівняння, ядра яких мають слабку особливість.

Тема 1.3. Формули та теореми Фредгольма.

Формули Фредгольма. Резольвента Фредгольма. Інтегральні рівняння Фредгольма ІІ роду з виродженим ядром. Перша теорема Фредгольма. Друга та третя теореми Фредгольма для інтегральних рівнянь Фредгольма ІІ роду з виродженим ядром. Теореми Фредгольма для довільних лінійних інтегральних рівнянь Фредгольма ІІ роду. Метод вироджених ядер.

Тема 1.4. Симетричні інтегральні рівняння

Компактні самоспряжені оператори. Теорема Гільберта-Шмідта. Інтегральні рівняння Фредгольма ІІ роду з симетричними ядрами. Зведення задачі про власні функції симетричного ядра до крайової задачі. Розвинення симетричного ядра та його ітерованих ядер за власними функціями ядра. Інтегральні рівняння, які зводяться до інтегральних рівнянь з симетричним ядром. Крайові задачі, які зводяться до інтегральних рівнянь з симетричним ядром.

Модуль ІІ. Наближені та операційні методи розв’язування лінійних інтегральних рівнянь. Рівняння І роду.

Тема 2.1. Ітераційні методи.

Принцип стискаючих відображень. Метод послідовних наближень для лінійних інтегральних рівнянь Фредгольма ІІ роду. Метод послідовних наближень для лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра ІІ роду. Поняття про метод послідовних наближень для нелінійних інтегральних рівнянь. Наближене розв’язування лінійних інтегральних рівнянь ІІ роду методом простої ітерації. Поняття про методи Положія та усереднення функціональних поправок.

Тема 2.2. Апроксимаційні та проекційні методи.

Метод квадратур для лінійних інтегральних рівнянь Фредгольма ІІ роду. Метод квадратур для лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра ІІ роду. Основні ідеї проекційних методів розв’язування інтегральних рівнянь. Метод найменших квадратів. Методи Гальоркіна-Петрова та Бубнова-Гальоркіна. Метод колокації.

Тема 2.3. Лінійні інтегральні рівняння І роду та рівняння типу згортки.

Лінійні інтегральні рівняння Фредгольма І роду. Теорема Пікара. Лінійні інтегральні рівняння Вольтерра І роду та методи їх зведення до рівнянь Вольтерра ІІ роду. Перетворення Лапласа та його властивості. Формули зображень. Методи відновлення функції за її зображенням. Застосування перетворення Лапласа до розв’язування інтегральних рівнянь Вольтерра типу згортки. Лінійні інтегро-диференціальні рівняння типу згортки.

Призначення навчальної дисципліни.

Вивчення навчальної дисципліни «Вища математика» передбачає вивчення загальних математичних закономірностей, які можуть бути використані здобувачами вищої освіти для розв’язування прикладних задач, побудови математичних моделей для опису та аналізу природних явищ, а також для прогнозування та аналізу експериментальних даних математичними методами

 Мета вивчення навчальної дисципліни.

Вивчення навчальної дисципліни «Вища математика» має на меті ознайомлення здобувачів вищої освіти з сучасними математичними методами розв’язування задач та аналізу функцій і явищ, теоретичними положеннями.

 Завдання вивчення навчальної дисципліни.

Відповідно до мети виділені завданнями вивчення дисципліни: сформувати вміння здобувачів вищої освіти розв’язування математичні задачі; сприяти розвитку логічного та аналітичного мислення здобувачів вищої освіти; ознайомити студентів з основними поняттями та методами апарату математичного аналізу та надати рекомендації щодо особливостей його практичного застосування; сформувати в здобувачів вищої освіти навички використання математичних методів до розв’язування задач прикладного характеру.

Мета та завдання навчальної дисципліни «Комплексний аналіз»

Головна мета курсу «Комплексний аналіз» – вивчення елементарних трансцендентних функцій. Вивести необхідні і достатні умови диференційованості функцій у комплексній області. Показати збіжність і розбіжність інтегрування функцій у комплексній області. Навчити основним методам розкладу елементарних функцій н ряди Тейлора і Лорана. Навчити класифікувати ізольовані сингулярні точки і застосовувати теорію лишків для обчислення визначених і невласних інтегралів, і розв’язання деяких прикладних задач.

          Отже, студент повинен знати:

          1) Властивості модуля і аргументу комплексного числа та їх геометричну інтерпретацію. Геометричний зміст дій над комплексними числами. Основні теореми про границі послідовностей комплексних чисел. Чітко уявляти відмінності неперервності і диференційованості функцій комплексної та дійсної змінної, а також геометричний зміст похідної.

          2) Навчитися обчислювати значення елементарних трансцендентних функцій від комплексної змінної. Уміти встановити зв’язок між круговими та гіперболічними функціям, а також уміти обчислювати значення обернених кругових та гіперболічних функцій.

          3) Навчитися обчислювати інтеграли від функції комплексної змінної. Розкласти функції у степеневі ряди за додатними та від’ємними степенями. Знаходити нулі функцій і ізольовані сингулярні точки.

          4) Користуватися відповідними теоремами про обчислення лишків функцій при обчисленні визначених і невласних інтегралів, а також при розв’язуванні задач практичного характеру.

 Програма навчальної дисципліни

          Вступ. Курс «Комплексний аналіз» дає можливість поширити знання з комплексних чисел, побудувати аналітичну функцію і встановити, що елементарні трансцендентні функції мають уявний період. Теорія лишків дає можливість розв’язувати багато задач гідродинаміки, картографії і обчислювати визначені ш невласні інтеграли.

          Змістовий модуль 1. Комплексні числа. Комплексна змінна.

          Тема 1.1. Алгебраїчні дії над комплексними числами та їх властивості. Тригонометрична форма комплексного числа.

          1) Означення комплексного числа. Алгебраїчні дії над комплексними числами та їх властивості.

          2) Тригонометрична форма комплексного числа. Модуль та аргумент добутку і частки. Формула Мавра. Показникові форма комплексного числа.

          Тема 1.2. Геометричний зміст дій над комплексними числами.

          1) Добування кореня з комплексного числа, яке задане у тригонометричній або показниковій формі.

          2) Геометричний зміст дій над комплексними змінними. Стереографічна проекція і нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина. Сфера Рімана. Формули стереографічної проекції.

          Тема 1.3. Комплексна змінна.

          1)Означення комплексної змінної. Границя послідовності. Основні теореми про границі послідовностей. Обмежена послідовність.

          2)Означення області. Однозв’язні і багатозв’язні. Гладкі і Кусково-гладкі лінії. Напрямок обходу лінії.

Змістовий модуль 2. Функції комплексної змінної та їх диференціювання. Елементарні трансцендентні функції.

          Тема 2.1. Границі функції. Неперервність функції.

          1)Означення функції. Дійсна та уявна частини функції. Границя функції. Основні теореми про границі функції.

          2)Неперервність функції основні теореми про неперервність функції.        3) Похідна функції. Основні правила диференціювання. Принцип зображення області. Диференціал.

          Тема 2.2. Умови диференціювання функцію комплексної змінної.

          1)Диференційованість за комплексною змінною Умови Коші-Римана (Даламбера-Ейлера). Регулярні, аналітичні функції.

          2)Знаходження функції за її дійсною (уявною) частиною. Геометричне тлумачення аргументу і модуля похідної. Поняття про конформне відображення .

          Тема 2.3. Показникові, кругові та гіперболічні функції.

          1) Показникові функція та її властивості. Формула Ейлера. Кругові та гіперболічні функції. Тотожні співвідношення між тригонометричними і гіперболічними функціями.

          2) Властивості функцій синус і косинус у комплексній області. Приклади застосування формули Ейлера.

          Тема 2.4. Логарифмічна та обернені кругові та гіперболічні функції.

          1) Логарифмічна функція. Основні функціональні властивості логарифма.

          2) Довільні степені і корені. Обернені кругові та обернені гіперболічні функції.

          Змістовий модуль 3. Інтеграл. Ряди.

          Тема 3.1. Інтеграл від функцій комплексної змінної.

          1) Означення інтеграла від функції комплексної змінної за кривою. Умови існування інтеграла. Основні властивості інтеграла. Методи обчислення інтеграла.

          2) Теорема Коші для однозв’язної області . Теорема Коші для багатозв’язної області. Незалежність контурного інтеграла регулярної функції від шляху інтегрування.

          3) Первісна і невизначений інтеграл. Обчислення невизначеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца.

          Тема 3.2. Формула Коші та її наслідки.

          1)Формула Коші. Інтеграл Типу Коші.

          2) Теорема про існування похідної любого порядку у регулярної функції. Принцип максимуму модуля. Теорема Ліувіля.

          Тема 3.3. Загальні властивості рядів з комплексними числами. Функціональні ряди.

          1) Означення ряду. Основні властивості числових рядів. Абсолютно і неабсолютно збіжні ряди.

          2) Функціональний ряд і його збіжність. Рівномірно збіжні ряди та їх властивості. Теорема Вейєрштраса.

          Тема 3.4. Степеневі ряди.

          1) Теорема Абеля. Коло збіжності. Почленне диференціювання та інтегрування степеневого ряду.

          2) Формула Коші-Адамара. Аналітичність суми степеневих рядів.

          3) Розклад регулярної функції у степеневий ряд. Єдиність розкладу. Ряд Тейлора. Дії з степеневими рядами.

          Тема 3.5. Ряд Лорана.

          1) Двосторонні степеневі ряди. Ряд Лорана, область його збіжності.

          2) Розклад аналітичної функції у ряд Лорана. Единість розкраду. Формули для коефіцієнтів ряду Лорана, нерівність Коші.

          3) Теорема про сингулярну точку, яку можна усунути. Теорема Ліувіля.

          Змістовий модуль 4. Нулі і сингулярні точки. Лишки, принцип аргументу.

          Тема 4.1. Нулі аналітичної функції. Сингулярні точки.

          1) Нулі аналітичної функції, Порядок нуля.

          2) Класифікація ізольованих сингулярних точок однозначного характеру.

          3) Полюс суттєво сингулярна точка, різні їх визначення.

          Тема 4.2. Лишки аналітичної функції

          1) Означення лишка. Теорема про лишки.

          2) Формули обчислення лишків, Основна терема Коші про лишки.

          Тема 4.3. Обчислення визначених інтегралів.

          1) Обчислення визначених інтегралів від раціональних тригонометричних функцій.

          2) Невласний інтеграл та його збіжність. Лема Жордана.

          Тема 4.4. Обчислення невласних інтегралів.

          1) Обчислення інтегралу виду

          2) Обчислення інтегралів виду , .

          Тема 4.5. Лишки логарифмічної похідної.

          1) Лишки логарифмічної похідної в її полюсах.

          2) Число нулів і полюсів регулярної функції у замкненій області.

          Тема 4.6. Теорема Руше. Основна терема алгебри.

          1) Принцип аргументу.

          2)Теорема Руше. Основна теорема алгебри.

          Тема 4.7. Аналітичне продовження.

          1) Аналітичний елемент то його продовження. Повна аналітична функція у тлумаченні Вейєрштраса. Поняття про ріманову поверхню.

          2) Аналітичне продовження через границю області.

Даний курс присвячений конструктивній побудові та вивченню серії алгебр, які є вільними в многовиді допель-напівгруп та в деяких її підмноговидах. Він орієнтований переважно на студентів, які цікавляться загальною алгеброю. Для оволодіння матеріалами лекцій достатньо знань основних понять і деяких тверджень теорії напівгруп та універсальної алгебри. Курс буде корисним для студентів, які починають вивчати теорію напівгруп і універсальну алгебру та планують займатися наукою. Запропонований курс лекцій був прочитаний автором для студентів та аспірантів Інституту математики Потсдамського університету (Німеччина) у 2017-2018 н. р.

Метою викладання навчальної дисципліни «Математичні задачі: розв’язування та систематизація з використанням ІКТ» є дати знання, уміння та методичні навички, що дозволяють використовувати математичні пакети як безпосередньо для розв’язування задач з різних математичних дисциплін та дослідження їх розв’язків, так і в різних напрямах професійної роботи сучасного вчителя математики, а також вивчити методичні особливості використання математичних пакетів при їх використанні безпосередньо на уроках в школі, при підготовці уроків, методичних матеріалів тощо. 

Основними завданнями вивчення дисципліни «Математичні задачі: розв’язування та систематизація з використанням ІКТ» є 

1. Дати методичну характеристику сучасних пакетів динамічної геометрії та комп’ютерної алгебри, 

2. Поглибити практичні основи роботи в пакетах GeoGebra та wxMaxima, 

3. Отримати практику розв’язування з їх допомогою математичних та методичних задач.

Differential geometry is the study of geometry using calculus. It has many applications i physics, engineering etc. The objects studied by differential geometry are known as Riemannian manifolds. These are geomitrical objects, such as surfaces, that locally look like Euclidean space and therefore allow the definition of analitical concepts such as tangent vectors, differentiability etc. Riemannian manifolds have a metric, which  opens the door to measurement because it allows distances and angles to be evaluated locally and concepts such as geodesics, curvature, and torsion to be defined.

Метою викладання навчальної дисципліни «Методика навчання математики в профільній та вищій школі» є сформувати і розвинути у студентів професійні знання, навички й уміння, які забезпечуватимуть реконструктивно-варіативний рівень і ставитимуть основу творчого рівня виконання майбутніми вчителями математики основних виробничих функцій та відповідних їм типових задач діяльності вчителя математики профільної школи; оволодіння знаннями про технологію навчання математики на структурному, функціональному і генетичному рівні; підготовка магістрів до виконання обов`язків викладача математичних дисциплін ВНЗ, проведення науково-пошукової роботи, керівництво дослідницькою роботою студентів, організації навчально-виховного процесу найефективнішими формами, найдоцільнішими методами та прийомами навчання на сучасному етапі розвитку вищої школи.